Nilai dari 5a + b adalah -14.
PEMBAHASAN
Nilai limit dari suatu fungsi dapat kita cari dengan langsung mensubstitusikan nilai x ke dalam fungsinya. Jika hasilnya ada maka berarti itulah nilai limitnya.
[tex]\lim\limits_{x \to c} f(x)=f(c)[/tex]
Akan tetapi jika hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu [tex]\frac{0}{0}~atau~\frac{\infty}{\infty}[/tex] maka nilai limitnya dapat dicari menggunakan aturan l'hospital, dimana:
[tex]\displaystyle{\lim\limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to c} \frac{\frac{d}{dx}\left [ f(x) \right ]}{\frac{d}{dx}\left [ g(x) \right ]}=\frac{f'(c)}{g'(c)},~~dengan~f'(c),~g'(c)\neq 0}[/tex]
.
DIKETAHUI
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{a-\sqrt{bx^2+4}}{1-cosax}=3 }[/tex]
a dan b bilangan real.
.
DITANYA
Tentukan nilai dari 5a + b.
.
PENYELESAIAN
Kita coba dengan substitusi langsung.
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{a-\sqrt{bx^2+4}}{1-cosax}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{a-\sqrt{b(0)^2+4}}{1-cosa(0)}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{a-\sqrt{4}}{1-1}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{a-2}{0}\neq 3 }[/tex]
Karena hasilnya tidak konsisten, dapat kita simpulkan bagian pembilang harus bernilai nol juga, Dan nilai limit dapat dicari dengan aturan l'hospital.
[tex]a-2=0[/tex]
[tex]a=2[/tex]
.
Dengan aturan l'hospital :
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{a-\sqrt{bx^2+4}}{1-cosax}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{2-\sqrt{bx^2+4}}{1-cos2x}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\left ( 2-\sqrt{bx^2+4} \right )}{\frac{d}{dx}\left ( 1-cos2x \right )}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{bx}{\sqrt{bx^2+4}}}{2sin2x}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{-bx}{2sin(2x)\sqrt{bx^2+4}}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -\frac{b}{2}\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin2x}\times\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{bx^2+4}}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -\frac{b}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{b(0)^2+4}}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -\frac{b}{4}\times\frac{1}{2}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{ -\frac{b}{8}=3 }[/tex]
[tex]\displaystyle{b=-24 }[/tex]
.
Kita peroleh a = 2 dan b = -24, maka :
[tex]5a+b=5(2)-24[/tex]
[tex]5a+b=-14[/tex]
.
KESIMPULAN
Nilai dari 5a + b adalah -14.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Limit l'hospital : https://brainly.co.id/tugas/37654365
- Limit l'hospital : https://brainly.co.id/tugas/29460066
- Limit teorema apit : https://brainly.co.id/tugas/45450337
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel: Matematika
Bab : Limit Fungsi Aljabar
Kode Kategorisasi: 11.2.8
Kata Kunci : limit, fungsi, l'hospital, bentuk, tak tentu.
[answer.2.content]